考场上的完美答卷
考场上的完美答卷 (第2/2页)他知道这不是标准答案，但逻辑严密，自洽。而且，这个解法展现了他对数学工具的灵活运用——构造辅助函数，利用罗尔定理，然后消去参数。
他抬头看钟，考试开始四十分钟。教室里大部分人还在挣扎，前排的学霸张涛眉头紧锁，显然也被最后一题难住了。苏雨薇在检查卷子，但眼神有些飘忽。
林澈开始从头检查。
第一题，$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$。他盯着那个$\frac{3}{5}$，那种不对劲的感觉又来了。他重新计算：$\sin3x\sim3x$，$\tan5x\sim5x$，所以极限是$\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。
但$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$吗？$\tan\theta\sim\theta$当$\theta\to0$，这里$\theta=5x\to0$，没错。
可是……林澈闭上眼睛，前世赵建国讲解这道题的声音在脑中回响：“很多同学直接用了等价无穷小，但要注意，$\tan5x$在$x\to0$时确实是$5x$的高阶无穷小吗？我们严格计算一下……”
对了！赵建国当时强调了不能直接用等价无穷小，因为分子分母是加减关系？不，这里是乘除，可以用。
但教授说：“这道题我特意设计了一个陷阱，$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$，但$\sin3x$等价于$3x$，所以答案是$\frac{3}{5}$——如果你这么想，就掉坑里了。因为$\tan5x=5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$，展开到三阶项会影响结果吗？我们算一下……”
林澈的笔在草稿纸上飞快运算：
$\sin3x=3x-\frac{27}{6}x^3+O(x^5)=3x-\frac{9}{2}x^3+O(x^5)$
$\tan5x=5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$
所以$\frac{\sin3x}{\tan5x}=\frac{3x-\frac{9}{2}x^3+O(x^5)}{5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5)}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1-\frac{3}{2}x^2+O(x^4)}{1+\frac{25}{3}x^2+O(x^4)}$
当$x\to0$时，这确实趋于$\frac{3}{5}$。所以答案没错。
但为什么教授要强调“陷阱”？
林澈突然明白了。教授是在说，虽然答案正确，但直接用等价无穷小的理由不够严谨，因为严格来说需要验证余项不影响极限。但作为一道选择题或者填空题，直接写$\frac{3}{5}$可以得分。作为计算题，可能需要写一两句说明。
他决定保持原答案。
检查完所有题目，时间还剩十五分钟。林澈放下笔，看向窗外。梧桐树的叶子在风中翻动，阳光在叶片间跳跃。他忽然想起前世考完这场试后，自己垂头丧气地去网吧打了一下午游戏，因为感觉又要挂科。
这一次，完全不同了。
“时间到，停笔。”
赵建国的声音响起。教室里响起一片如释重负的叹息，夹杂着几声哀嚎。林澈看着教授走下讲台，一张张收卷子。
收到他这里时，赵建国拿起他的答题纸，没有立刻放进口袋，而是站在那里看了几秒。林澈能看到教授的眼角微微抽动了一下。
“你……”赵建国开口，又停住，把卷子收走，“考得不错。”
只有三个字，但林澈听出了其中的分量。赵建国是出了名的严苛，从他嘴里说出“不错”，相当于普通教授的“优秀”。
卷子收齐后，教室里炸开了锅。
“最后一题完全不会！”
“张涛，你做得出来吗？”
“勉强写了几步，估计能得五分。”
苏雨薇转过头，看向林澈：“你最后一题做出来了吗？”
她的眼睛很亮，带着好奇。前世这时候，她没和他说话。
“做出来了。”林澈说，“但方法可能和标准答案不一样。”
“能给我讲讲吗？”她问，然后脸微微红了，“如果不麻烦的话。”
林澈点头，拿过草稿纸，开始画图讲解。他的声音平静清晰，从构造函数到应用罗尔定理，再到消去参数。苏雨薇听得很专注，偶尔点头。
讲完后，她轻声说：“你真厉害。”
这句话让林澈恍惚了一下。前世，苏雨薇从没对他说过类似的话。他们之间最深的交流，就是那次豆浆洒了后的道歉和尴尬。
“林澈。”
赵建国的声音在身后响起。教授不知何时走到了他们桌边，手里拿着刚才收上去的试卷——最上面那张是林澈的。
“你跟我来一下办公室。”赵建国说，表情严肃。
教室里安静下来，所有人都看向这边。苏雨薇露出担忧的表情，张涛则是一脸幸灾乐祸——大概以为林澈作弊被抓了。
林澈起身，跟着教授走出教室。
走廊里，赵建国走得不快，但每一步都很稳。阳光从尽头的窗户斜照进来，把两人的影子拉得很长。
“你的解题思路，”教授突然开口，没有回头，“是谁教的？”
“自学的。”林澈说。
“第七题的那个构造，$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$，很巧妙。”赵建国停下脚步，转身看着他，“大学教材里没有这种方法。”
“我在图书馆看了些课外书。”
“哪本？”
林澈卡壳了。他不能说是前世在考研辅导书里学的。
“《数学分析中的典型问题与方法》。”他报了一个常见的书名。
赵建国盯着他看了几秒，然后继续往前走：“那本书第几页有这道题？”
“不记得了，很久以前看的。”
教授没再追问。两人走到办公室门口，赵建国推开门。这是一间很简朴的办公室，书架上堆满了数学书籍和期刊，桌上摊着未批改的作业。
“坐。”
林澈在对面坐下。赵建国从抽屉里拿出一张纸，是空白的试卷。
“现在，当着我的面，把第七题再做一遍。”教授说，递过纸笔，“用你想到的任何方法。”
林澈接过笔。他知道，这是测试他是否真的理解，还是只是背了答案。
他提笔，这次用了另一种方法——标准答案应该用的那种，构造函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后对$g(x)$和$h(x)=e^{x^2}$应用柯西中值定理，巧妙地消去了$f(1)$。
五分钟后，他写完。
赵建国拿过去，看了一分钟，然后放下。
“你不是普通的学生。”教授摘下老花镜，揉了揉鼻梁，“我在大学教了三十年书，没见过大一学生有这样的数学素养。你的解法里，有些技巧是研究生阶段才会接触的。”
林澈保持沉默。
“我不问你从哪里学的。”赵建国重新戴上眼镜，“但我提醒你，天赋是礼物，也是责任。如果你真的对数学有兴趣，下周末来参加数学建模小组的选拔。”
这是一个机会。前世，林澈直到大二才知道有这个小组，想去时已经晚了。
“我会来的。”他说。
赵建国点头，把试卷还给他：“去吧。今天的事，不要跟别人说。”
林澈起身，走到门口时，教授又说了一句：
“林澈，无论你身上发生了什么，记住一点——知识是用来建设，不是用来炫耀的。”
这句话像一记重锤，敲在林澈心上。他转身，深深鞠躬：“我记住了，赵老师。”
走出办公室，走廊里空无一人。阳光依旧明亮，但林澈的心情复杂。他展示得太多了，引起了怀疑。但另一方面，赵建国的赏识是他需要的——这位教授在未来几年会成为数学学院的院长，在学术圈有相当的影响力。
回到教室时，同学们已经散了。只有苏雨薇还在座位上，看到他进来，立刻站起来。
“赵老师没为难你吧？”她问，眼里是真切的担忧。
“没有。”林澈说，“就是问了问最后一题的思路。”
“那就好。”她松了口气，“你刚才讲的解法，我回去想了想，还是有点不明白第三步……”
林澈看着她。阳光从窗户照进来，在她头发上镀了一层金边。前世，他错过了很多这样的时刻——因为自卑，因为觉得自己配不上。
这一次，他想试试不同的选择。
“我晚上去图书馆自习，”他说，“如果你有时间，可以一起，我慢慢给你讲。”
苏雨薇的眼睛亮了：“真的吗？那……七点，三楼自习室？”
“好。”
她笑了，那笑容很干净，像初春的阳光。林澈忽然觉得，重生也许不只是为了改变命运，也是为了不错过这些本该美好的瞬间。
离开教学楼时，手机震动。是比特币交易平台的提醒推送：“您关注的BTC/USD价格突破6800美元”。
林澈看着屏幕上的数字，又想起赵建国的话：知识是用来建设，不是用来炫耀的。
他有了知识，有了预知，有了重来的机会。
这一次，他要好好建设。
不仅是为自己。